量化区块链中社会共识的去中心化和安全性

引言

社会共识通常被视为区块链网络中安全缺陷的魔法修复工具，尤其是在快速变化的Crypto Twitter (CT) 对话中。但历史教给我们的任何东西—无论是痛苦的小区块与大区块辩论，还是在DAO分叉后以太坊的分裂—都表明，社会共识并非易事。它是复杂的、昂贵的，并且极难实施。

所以，当我们谈论去中心化时，仅仅在调用社会共识之前进行测量是不够的。我们需要思考在社会共识被引入后发生了什么。区块链真正有多去中心化， dust settles 之后？为了获得完整的视图，我们需要量化社会共识本身的有效性和真实成本。以下框架提供了一种简单且结构化的方法来量化去中心化、安全性以及区块链系统中社会共识机制的有效性。

注：非常感谢 Terry @ EclipseLabs 分享他的社会共识笔记。我的分析在很大程度上受到了与他的讨论的启发。

定义与符号

我们将安全性和去中心化的关键指标定义如下。

实现双重支付所需的政治实体数量

令：

• $N_p$ 为网络中的政治实体总数（不同的验证者或验证者组）。
• $C_d$ 为实施双重支付所需的最小政治实体数。

去中心化水平 $D$ 可以被测量为所需共谋实体与总实体的比值：

$$D = \frac{C_d}{N_p}$$

其中：

• $D \approx 1$ 表示高度去中心化的网络，因为几乎所有实体都需要共谋才能实现双重支付。
• $D \ll 1$ 表示中心化，因为只有少数实体可以实施双重支付。

这个比率有效地测量了网络中共谋权力的分散程度。值越接近1表明网络的安全性依赖于权力的广泛分配，造成共谋变得困难。相反，值越接近0则表明中心化，少数实体控制了网络大部分的权力。

安全缺陷可检测性

令：

• $N_f$ 为全节点数量。
• $N_l$ 为执行DAS的轻节点数量。
• $N_c$ 为能够检测安全缺陷的轻客户端数量。

假设 $N_f$、$N_l$ 和 $N_c$ 是互斥的集合，我们定义安全缺陷可检测性比率 $S$ 为：

$$S = \frac{N_f + N_l + N_c}{N_p}$$

其中：

• $S \gg 1$ 表示高安全缺陷可检测性，因为能够检测缺陷的实体数量多于需要实施缺陷的实体数量。
• $S \leq 1$ 表示低可检测性，暗示可能存在对未检测安全缺陷的脆弱性。

如果这些集合 $N_f$、$N_l$ 和 $N_c$ 之间存在交集，$S$ 的解释可能会改变。例如，如果某些节点执行多个角色（例如，一个全节点也作为一个轻客户端），这可能会增强缺陷的可检测性，而不增加独特节点的总数。在解释 $S$ 时，考虑这些重叠是非常重要的。

腐败成本

腐败成本衡量的是达成共谋的经济障碍。

令：

• $C_v$ 为腐败 $k$ 个验证者所需的总成本。
• $C_s$ 为在腐败被检测后施加的惩罚（例如，罚没）。
• $\pi_v$ 为攻击者从成功腐败这些验证者中预期获得的利润。

我们定义净腐败成本 $C_n$ 为：

$$C_n = C_v + C_s - \pi_v$$

• $C_n > 0$ 意味着腐败网络的成本超过潜在利润，从而抑制攻击。
• $C_n \leq 0$ 表明网络脆弱，因为攻击者的收益超过他们所承担的风险，使得腐败具有经济可行性。

这个公式强调了强有力的经济处罚（罚没）和高腐败成本以保持网络安全的重要性。

社会共识评估的数学框架

鉴于安全性和去中心化的指标，我们需要评估社会共识机制的鲁棒性。

测量社会共识的去中心化

令：

• $N_s$ 为参与社会共识过程的实体数量。
• $Wi$ 为每个实体 $i$ 在共识过程中的权重（影响力），$\sum{i=1}^{N_s} W_i = 1$。

我们使用赫芬达尔—赫希曼指数 (HHI) 来测量社会共识中的影响集中度：

$$Ds = 1 - \sum{i=1}^{N_s} W_i^2$$

其中：

• $D_s$ 越接近1表示高度去中心化的共识，因为影响力在实体之间更均匀地分配。
• $D_s$ 越接近0表示中心化，少数实体在共识过程中具有显著的影响力。

评估社会共识对安全性的影响

我们引入一个“社会共识安全因子” $\sigma_s$ 来衡量社会共识在解决安全缺陷方面的有效性。令：

$$\sigmas = \frac{\sum{i=1}^{N_s} S_i \times W_i}{N_p \times D_s}$$

其中 $S_i$ 代表实体 $i$ 的缺陷检测能力。更高的 $\sigma_s$ 表示在处理安全缺陷方面具有更强的社会共识机制，将实体的缺陷检测能力和影响力的分配结合在一起。

实际系统中的实验

这些数学基础能够使我们在真实区块链环境中形成可测试的假设：

硬件要求与去中心化

假设：

• 增加硬件要求会导致 $S$、$D$ 和 $D_s$ 的减少，从而导致去中心化和缺陷可检测性的降低。

数学测试：

• 追踪硬件要求增加时 $S$ 和 $D$ 的变化。
• 分析是否较高的硬件要求与验证者参与度减少相关，导致去中心化指标降低。

第二层安全性和审查抵抗能力

假设：

• 具有单一排序者的第二层解决方案具有低 $S$ 和高 $C_n$，暗示更高的审查和安全泄露风险。

数学测试：

• 测量不同第二层解决方案的 $S$ 和 $C_n$ 以比较它们的弹性。
• 评估通过增加更多排序者是否能改善 $S$（例如，提高安全性）。

基于N50的区块链网络指标的推广

在基因组学中，N50 基于指标 被广泛用于通过测量序列长度分布来评估基因组组装的质量。这些信息理论概念可以适应于密码经济学，以提供一种结构化的方法来评估区块链网络中的去中心化、安全性和集中度。通过推广这些指标，我们可以创建一个统一的框架来测量网络参与者如何分配资源、权力和影响力，从而提供更深入的网络弹性、公平性和安全性的洞察。

去中心化指标

网络资源份额指标 (DN50)：

• 定义： 网络资源份额指标 $DN(p)$ 测量最小的参与者子集（例如，矿工、验证者或持有人）持有的资源（例如，在PoW中为哈希能力，在PoS中为权益）累积份额的最小值，以共同控制 $p\%$ 的总网络资源。

数学上，$DN(p)$ 可以定义为：

令 $R_1 \geq R_2 \geq \cdots \geq R_N$ 为参与者的已排序资源份额，其中 $R_i$ 为第 $i$ 位参与者的资源份额，$N$ 为参与者的总数。

定义 $k$ 为满足以下条件的最小整数：

$$\sum_{i=1}^{k} Ri \geq \frac{p}{100} \times \sum{i=1}^{N} R_i$$

则网络资源份额指标为：

$$DN(p) = \sum_{i=1}^{k} R_i$$

• 例如：
  • $DN(33)$ 表示控制33%网络total资源的最小参与者组所持的累积资源。
  • 高 $DN(33)$ 表示去中心化的网络，需要很多参与者来控制33%的资源。
  • 低 $DN(33)$ 则表示中心化，少数参与者主导。

网络参与者计数指标 (DL50)：

• 定义： 网络参与者计数指标 $DL(p)$ 是控制 $p\%$ 网络总资源所需的最少参与者数量。

数学上，$DL(p)$ 可以定义为：

$$DL(p) = \min \lbrace k : \sum_{i=1}^{k} Ri \geq \frac{p}{100} \times \sum{i=1}^{N} R_i \rbrace$$

• 例如：
  • $DL(33)$ 表示控制33%网络资源所需的最小参与者数量。
  • 较小的 $DL(33)$ 表示中心化。
  • 较大的 $DL(33)$ 表示去中心化。

示例说明：

假设我们有一个资源份额为 R = [40%、30%、10%、10%、5%、5%] 的网络：

• 对于 $DN(50)$：

  • 控制至少50%的最小小组是前两个参与者（40% + 30% = 70%）。
  • 因此，$DN(50) = 70\%$。

• 对于 $DL(50)$：

  • 控制至少50%的最小参与者数量也是前两个参与者。
  • 因此，$DL(50) = 2$。

目标资源份额指标 (NG33)：

• 定义： 目标资源份额指标 $NG(p)$ 测量达到特定目标资源分布所需的最小累积资源占比，通常基于理想的去中心化模型。

数学上，$NG(p)$ 可以定义为：

$$NG(p) = \min \lbrace k : \sum_{i=1}^{k} R_i \geq \frac{p}{100} \times \text{目标资源} \rbrace$$

• 例如：
  • $NG(33)$ 表示达到理想目标分布的最小累积资源需求。如果目标是33%的参与者，但网络只用20个参与者实现这一点，那么 $NG(33) = 20$。

安全缺陷容忍度指标

安全缺陷容忍度指标 (SFN50)：

• 定义： 安全缺陷容忍度指标 $SFN(p)$ 测量最小组参与者的累积安全能力（例如，检测和缓解攻击的能力），这些参与者共同提供 $p\%$ 的网络总故障容忍度。

数学上，$SFN(p)$ 可以定义为：

令 $S_1 \geq S_2 \geq \cdots \geq S_N$ 为参与者的已排序故障容忍度容量，其中 $S_i$ 为第 $i$ 位参与者的故障容忍度容量，$N$ 为参与者的总数。

定义 $k$ 为满足以下条件的最小整数：

$$\sum_{i=1}^{k} Si \geq \frac{p}{100} \times \sum{i=1}^{N} S_i$$

则安全缺陷容忍度指标为：

$$SFN(p) = \sum_{i=1}^{k} S_i$$

该指标计算被最小组参与者控制的总故障容忍度能力，以满足或超过 $p\%$ 的总网络故障容忍度。

• 例如：
  • $SFN(33)$ 表示最小组参与者的结合安全能力占整个网络安全的33%。
  • 较高的 $SFN(33)$ 表明网络故障容忍度分布良好，提高了其弹性。
  • 较低的 $SFN(33)$ 表示故障容忍度集中，这可能是一种脆弱性。

安全参与者计数指标 (SFL50)：

• 定义： 安全参与者计数指标 $SFL(p)$ 是提供 $p\%$ 网络故障容忍度能力所需的最小参与者数量。

数学上，$SFL(p)$ 可以定义为：

$$SFL(p) = \min \lbrace k : \sum_{i=1}^{k} Si \geq \frac{p}{100} \times \sum{i=1}^{N} S_i \rbrace$$

该指标识别的最小参与者数量 $k$，其结合的故障容忍度能力满足或超过 $p\%$ 的总网络故障容忍度。

• 例如：
  • $SFL(33)$ 表示所需的参与者数量，以形成33%的网络故障容忍度。
  • 较小的 $SFL(33)$ 表示故障容忍度的中心化。
  • 较大的 $SFL(33)$ 表示分布的故障容忍度，提高了网络的弹性。

示例说明：

假设我们有一个故障容忍度能力为 S = [50%、30%、10%、5%、5%] 的网络：

• 对于 $SFN(50)$：

  • 控制至少50%故障容忍度的最小组是第一位参与者（50%）。
  • 因此，$SFN(50) = 50\%$。

• 对于 $SFL(50)$：

  • 控制至少50%故障容忍度的最小参与者数量也是第一位参与者。
  • 因此，$SFL(50) = 1$。

目标故障容忍度指标 (UG33)：

• 定义： 目标故障容忍度指标 $UG(p)$ 测量为达到设定安全目标所需的最小累计故障容忍度，根据理想模型确定。

数学上，$UG(p)$ 可以定义为：

$$UG(p) = \min \lbrace k : \sum_{i=1}^{k} S_i \geq \frac{p}{100} \times \text{目标故障容忍度} \rbrace$$

• 例如：
  • $UG(33)$ 表示满足36%安全目标所需的最小参与者数量。如果目标通过12个参与者而不是25个参与者达到，那么 $UG(33) = 12$。

中心化和集中度指标

集中影响指标 (CN50)：

• 定义： 集中影响指标 $CN(p)$ 测量控制 $p\%$ 网络总影响力的最小参与者子集所持有的最小影响量（例如，投票权或交易验证）。

数学上，$CN(p)$ 可以定义为：

令 $W_1 \geq W_2 \geq \cdots \geq W_N$ 为参与者的已排序影响份额，其中 $W_i$ 为第 $i$ 位参与者的影响力（例如，投票权），$N$ 为总体参与者数。

定义 $k$ 为满足以下条件的最小整数：

$$\sum_{i=1}^{k} Wi \geq \frac{p}{100} \times \sum{i=1}^{N} W_i$$

则集中影响指标为：

$$CN(p) = \sum_{i=1}^{k} W_i$$

该指标计算被最小组参与者控制的总影响力，以满足或超过 $p\%$ 的总网络影响力。

• 例如：
  • $CN(33)$ 表示持有控制33%网络总影响力的最小参与者组所需的最小累积投票权。
  • 较高的 $CN(33)$ 表示去中心化的影响力。
  • 较低的 $CN(33)$ 表示权力集中。

影响参与者计数指标 (CL33)：

• 定义： 影响参与者计数指标 $CL(p)$ 是控制 $p\%$ 网络总影响力所需的最小参与者数量。

数学上，$CL(p)$ 可以定义为：

$$CL(p) = \min \lbrace k : \sum_{i=1}^{k} Wi \geq \frac{p}{100} \times \sum{i=1}^{N} W_i \rbrace$$

该指标识别的最小参与者数量 $k$，其结合的影响力满足或超过 $p\%$ 的总网络影响力。

• 例如：
  • $CL(33)$ 表示控制33%网络影响力所需的最小参与者数量。
  • 较小的 $CL(33)$ 表示中心化。
  • 较大的 $CL(33)$ 表示更大的去中心化。

示例说明

假设我们有一个影响份额为 W = [45%、35%、10%、5%、5%] 的网络：

• 对于 $CN(50)$：

  • 控制至少50%影响力的最小组是第一位参与者（45%）和第二位参与者的一部分（5%来自35%）。
  • 因此，$CN(50) = 50\%$。

• 对于 $CL(50)$：

  • 控制至少50%影响力的最小参与者数量是前两个参与者。
  • 因此，$CL(50) = 2$。

目标影响指标 (UG33)：

• 定义： 目标影响指标 $UG(p)$ 测量达到特定影响分配目标所需的最小累计影响力，基于理想治理模型。

数学上，$UG(p)$ 可以定义为：

$$UG(p) = \min \lbrace k : \sum_{i=1}^{k} V_i \geq \frac{p}{100} \times \text{目标影响分配} \rbrace$$

• 例如：
  • $UG(33)$ 表示达到33%目标影响力所需的最小参与者数量。如果在15个参与者而不是30个参与者达成了目标，那么 $UG(33) = 15$。

参考文献

• STAKESURE - Proof of Stake Mechanisms with Strong Cryptoeconomic Safety by Soubhik Deb, Robert Raynor, Sreeram Kannan,
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.05797
• The Economic Limits of Permissionless Consensus by Eric Budish, Andrew Lewis-Pye, Tim Roughgarden,
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.09173
• Robust Restaking Networks by Naveen Durvasula, Tim Roughgarden,
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2407.21785
• https://en.wikipedia.org/wiki/N50,_L50,_and_related_statistics

• 原文链接： github.com/thogiti/thogi...
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